معادله چیست؟
به یک تساوی که دو طرف آن، عبارتهای جبری باشد، معادله میگویند. مثلاً هر یک از عبارتهای زیر، معادله هستند:
همانطور که در درسنامۀ مقدار عددی یک عبارت جبری گفتیم، میتوان به جای متغیرهای عبارتهای جبری، اعداد را جا گذاری کرد. برای معادلات نیز میتوانیم این کار را به یک شرط انجام دهیم. شرط ما بر قرار ماندن تساوی است. مثلاً معادلۀ “الف” را که در بالا نوشتیم در نظر بگیرید. اگر به جای x، عدد ۳ را قرار دهیم، داریم:
۲×۳=۶
همانطور که میبینید تساوی عددی برقرار است. اما اگر به جای x، عدد ۴ را قرار دهیم، داریم:
۲×۴≠۶
به عبارت دیگر، حاصل ۲×۴ برابر با ۸ میشود، نه ۶٫ بنابراین تساوی عددی برقرار نیست. اصطلاحاً میگوییم ۳ پاسخ معادلۀ ۲×۳=۶ است. روش به دست آورن پاسخ یک معادله را حل آن معادله میگوییم. در قسمت بعدی از درسنامۀ معادله ریاضی هفتم به روش حل معادله میپردازیم.
روش حل معادله ریاضی هفتم
میتوانیم پاسخ یک معادله را با سعی و خطا به دست آوریم. مثلاً معادلۀ ۲x+1=7 را در نظر بگیرید. اگر از یک شروع کرده و اعداد طبیعی را امتحان کنیم، خواهیم دید که
عدد ۳ پاسخ این معادله است. اما این روش اصلاً مناسب نیست.
اولاً لزوماً پاسخ یک معادله، عدد طبیعی یا صحیح نیست. ثانیاً هیچ تضمینی وجود ندارد که در تلاشهای اولیه به جواب برسیم. همۀ اینها به کنار، در آینده با معادلاتی روبه رو میشویم که حتی در اعداد حقیقی پاسخی ندارند.
بنابراین به دنبال روشی هستیم که با طی کردن تعدادی گام مشخص (نه با سعی و خطا) به پاسخ برسیم. در قسمت بعدی از درسنامۀ معادله ریاضی هفتم ابتدا یک مطلب مهم را در مورد تساویها توضیح داده و سپس روش حل معادله را بیان میکنیم.
جمع دو طرف تساوی با یک عدد
اگر دو طرف یک تساوی را با یک عدد جمع کنیم، چه اتفاقی میافتد؟ آیا باز هم تساوی برقرار است؟ مثلاً تساوی زیر را در نظر بگیرید:
اگر دو طرف تساوی را با یک عدد صحیح مثبت مثل ۳ جمع کنیم، آنگاه خواهیم داشت:
تساوی بالا درست است. زیرا ۴+۳ در دو طرف تساوی برابر با ۷ میشود. اگر دو طرف تساوی را با یک عدد صحیح منفی مثل −۵ جمع کنیم چه طور؟ باز هم تساوی برقرار است؟ این کار را انجام میدهیم:
باز هم تساوی برقرار است. زیرا دو طرف تساوی برابر با −۱ میشود. جمع کردن با اعداد گویا و یا به طور کلی اعداد حقیقی نیز، اشکالی ایجاد نمیکند. مثلاً میتوانیم دو طرف تساوی را با عدد ۳/۸جمع کنیم:
تساوی برقرار است چون دو طرف آن برابر با ۳۵۸ است. حتی ضرب دو طرف تساوی در یک عدد حقیقی نیز مشکلی به وجود نمیآورد. در قسمت بعدی از درسنامۀ معادله ریاضی هفتم به این موضوع میپردازیم.
ضرب دو طرف تساوی در یک عدد
همۀ کارهایی که در قسمت قبل برای جمع انجام دادیم، برای ضرب نیز میتوانیم انجام دهیم. مثل قبل، تساوی ۴=۴ را در نظر بگیرید. اگر دو طرف تساوی را در یک عدد صحیح مثبت مثل ۳ ضرب کنیم، آنگاه خواهیم داشت:
ضرب دو طرف تساوی در یک عدد
تساوی بالا درست است. زیرا ۴×۳ در دو طرف تساوی برابر با ۱۲ میشود. اگر دو طرف تساوی را در یک عدد صحیح منفی مثل −۵ ضرب کنیم چه طور؟ باز هم تساوی برقرار است؟ این کار را انجام میدهیم:
ضرب دو طرف تساوی در یک عدد منفی
باز هم تساوی برقرار است. زیرا دو طرف تساوی برابر با −۲۰ میشود. ضرب کردن در اعداد گویا و یا به طور کلی اعداد حقیقی نیز، اشکالی ایجاد نمیکند. مثلاً میتوانیم دو طرف تساوی را در عدد ۳۸ ضرب کنیم:
ضرب دو طرف تساوی در یک عدد کسری
تساوی برقرار است چون دو طرف آن برابر با ۳۲ است. بنابراین میتوانیم دو طرف یک تساوی را با یک عدد حقیقی جمع و یا در یک عدد حقیقی ضرب کنیم. با توجه به این مطلب، در قسمت بعدی از درسنامۀ معادله ریاضی هفتم، به روش حل معادله میپردازیم.
حل معادله
فرض کنید معادلۀ زیر را به ما داده و از ما خواستهاند که پاسخ معادله را پیدا کنیم.
مثالی از معادله ریاضی هفتم
همانطور که گفتیم باید سعی کنیم معادله را طوری ساده کنیم تا یک طرف تساوی عدد باقی بماند و یک طرف دیگر متغیر. بنابراین سعی میکنیم کاری کنیم تا در سمت راست تساوی بالا عدد باقی بماند و در سمت چپ متغیر (البته میتوانستیم این کار را به صورت برعکس نیز انجام دهیم. یعنی متغیر را سمت راست نگه داریم و عدد را سمت چپ). بنابراین عدد −۴ را که قرینۀ ۴ است در دو طرف تساوی جمع میکنیم تا عدد ۴ در سمت چپ از بین برود:
جمع طرفین با یک عدد مثبت و منفی
معادله به صورت زیر در میآید:
مثالی از معادله ریاضی هفتم
حالا دو طرف را در وارون ضریب x که همان ۱۳ است ضرب میکنیم تا x تنها شود:
مثالی از ضرب طرفین در یک عدد کسری
معادله به صورت ساده شدۀ زیر در میآید:
مثالی از معادله ریاضی هفتم
دیدید به چه سادگی و بدون سعی و خطا، پاسخ معادله را یافتیم. به طور کلی برای حل هر معادله باید معادله را تا جایی ساده کنیم که یک طرف تساوی، متغیر و طرف دیگر تساوی عدد باشد. در قمست بعدی از درسنامۀ معادله ریاضی هفتم ، مثالهای متنوعی از معادله حل خواهیم کرد تا کوچکترین مشکلی در این مبحث نداشته باشید.
مثالهایی از حل معادله ریاضی هفتم
مثال ۱ معادله ریاضی هفتم: معادلۀ ۲x−۵=x را حل کنید.
حل: سعی میکنیم معادله را طوری ساده کنیم تا در سمت چپ آن، متغیر باقی بماند و در سمت راست آن، عدد (البته همانطور که گفتیم میتوانید این کار را برعکس انجام دهید. یعنی متغیر را در سمت چپ و عدد را در سمت راست نگه داریم). با توجه به اینکه دنبال یافتن پاسخ معادله در مجموعۀ اعداد حقیقی هستیم، با متغیرِ این معادله نیز میتوانیم مانند یک عدد حقیقی رفتار کنیم. یعنی میتوانیم −x را با دو طرف تساوی جمع کنیم:
۲x−۵+(−x)=x+(−x)
⇒x−۵=۰
حال کافی است دو طرف معادله را با ۵ جمع کنیم:
x−۵+۵=۰+۵
⇒x=5
به مثال بعدی از درسنامۀ معادله ریاضی هفتم دقت کنید.
مثال ۲ معادله ریاضی هفتم: معادلۀ ۴x+1=2x+3 را حل کنید.
حل: سعی میکنیم معادله را طوری ساده کنیم تا در سمت چپ آن، متغیر باقی بماند و در سمت راست آن، عدد (البته باز هم همانطور که گفتیم میتوانید این کار را برعکس انجام دهید. یعنی متغیر را در سمت چپ و عدد را در سمت راست نگه داریم). ابتدا −۲x را با دو طرف تساوی جمع کنیم:
۴x+1−۲x=2x+3−۲x
⇒۲x+1=3
حال −۱ را با دو طرف تساوی جمع میکنیم:
۲x+1−۱=۳−۱
⇒۲x=2
در گام آخر، دو طرف تساوی را در ۱۲ ضرب میکنیم:
۲x×۱۲=۲×۱۲
⇒x=1
مثالهایی دیگر از حل معادله ریاضی هفتم
مثال ۳ معادله ریاضی هفتم: معادلۀ ۳x−۴=۴x−۳ را حل کنید.
حل: سعی میکنیم معادله را طوری ساده کنیم تا در سمت چپ آن، عدد باقی بماند و در سمت راست آن، متغیر (البته همانطور که گفتیم میتوانید این کار را برعکس انجام دهید. یعنی متغیر را در سمت چپ و عدد را در سمت راست نگه داریم). بنابراین، ابتدا −۳x را با دو طرف تساوی جمع کنیم:
۳x−۴−۳x=4x−۳−۳x
⇒−۴=x−۳
حال ۳ را با دو طرف تساوی جمع میکنیم:
−۴+۳=x−۳+۳
⇒−۱=x
به مثال بعدی از درسنامۀ معادله ریاضی هفتم دقت کنید.
مثال ۴ معادله ریاضی هفتم: معادلۀ ۲−۳x=5x+1 را حل کنید.
حل: سعی میکنیم معادله را طوری ساده کنیم تا در سمت چپ آن، عدد باقی بماند و در سمت راست آن، متغیر (باز هم همانطور که گفتیم میتوانید این کار را برعکس انجام دهید. یعنی متغیر را در سمت چپ و عدد را در سمت راست نگه داریم). ابتدا ۳x را با دو طرف تساوی جمع کنیم:
۲−۳x+3x=5x+1+3x
⇒۲=۸x+1
حال −۱ را با دو طرف تساوی جمع میکنیم:
۲−۱=۸x+1−۱
⇒۱=۸x
در گام آخر، دو طرف تساوی را در ۱۸ ضرب میکنیم:
۱×۱۸=۸x×۱۸
⇒۱۸=x
نکته :بعضی از همکاران برای تنها کردن متغیر به جای اینکه دوطرف را با عدد یا متغیر قرینه جمع کنند متغیرهای اضافه را در حالت جمع وتفریق به طرف دیگر میبرند وعلامتش را قرینه می کنند ودر آخر طرفین را به ضریب متغیر تقسیم میکنند ما این روش را در پست حل معادله درجه اول هشتم کاملا توضیح دادهایم.
